Harmonische Teilung

Die harmonische Teilung bezeichnet in der Geometrie ein besonderes Lageverhältnis von vier Punkten auf einer Geraden. So liegen vier Punkte ${\displaystyle A,B,S,T}$ harmonisch, wenn die Strecke ${\displaystyle [AB]}$ durch zwei Punkte ${\displaystyle S,T}$ innen und außen (s. Bild) so geteilt wird, dass für die Teilstrecken die Beziehung

• ${\displaystyle |AS|:|SB|=|AT|:|TB|}$ erfüllt ist.

Die rechte Seite kann nie 1 werden. Also darf ${\displaystyle S}$ nie der Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ von ${\displaystyle A,B}$ sein.
Liegt ${\displaystyle S}$ rechts von ${\displaystyle M}$, so liegt ${\displaystyle T}$ rechts von ${\displaystyle B}$.
Liegt ${\displaystyle S}$ links von ${\displaystyle M}$, so liegt ${\displaystyle T}$ links von ${\displaystyle A}$.

Die obige Gleichung und die Voraussetzung, dass ${\displaystyle S}$ die Strecke ${\displaystyle [A,B]}$ innen und ${\displaystyle T}$ außen teilen, bedeutet, dass die beiden Teilverhältnisse ${\displaystyle (A,B;S)}$ und ${\displaystyle (A,B;T)}$ den gleichen Betrag haben und das Doppelverhältnis ${\displaystyle (A,B;S,T)}$ gleich −1 ist.

Da die obige Gleichung sich auch so

${\displaystyle |AS|:|AT|=|SB|:|TB|}$

schreiben lässt, teilen auch die Punkte ${\displaystyle A,B}$ die Strecke ${\displaystyle [S,T]}$ harmonisch. Die harmonische Teilung beschreibt also eine symmetrische Relation zwischen Punktepaaren auf einer Gerade.